Analyse 2 by Giroux A.

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord los angeles définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction proceed d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et los angeles fonction gamma. On y étudie enfin l. a. représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s'agit aussi comme son nom l'indique d'un deuxième cours d'analyse, qui think que l'on connaît déjà les propriétés des fonctions maintains et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours examine 1.

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V´erifier que la fonction sinus est concave sur l’intervalle [0, π/2]. En d´eduire que : π 2x 0≤x≤ ⇒ ≤ sin x ≤ x. 2 π 3. Est-il vrai qu’une fonction d´erivable est p´eriodique si et seulement si sa d´eriv´ee l’est ? 4. V´erifier que la fonction f : [0, 1] → R d´efinie par : f (x) = 1 sin x 0 si x = 0, si x = 0 est discontinue mais poss`ede quand mˆeme la propri´et´e des valeurs interm´ediaires. 5. Obtenir la solution g´en´erale l’´equation diff´erentielle suivante : f (x) + ω 2 f (x) = ex . 6. Montrer que la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle f (x) − f (x) = 0 est f (x) = a cosh x + b sinh x.

Montrer que la somme des angles int´erieurs d’un triangle est ´egale `a π. ) 15. Calculer l’aire d´etermin´ee par l’ellipse x2 y 2 + 2 = 1. a2 b Le calcul de sa longueur est-il aussi facile ? 49 6 CALCUL DES PRIMITIVES La famille des fonctions introduites est ferm´ee sous l’op´eration « calcul de la primitive ». En particulier, elle permet de trouver une primitive `a toute fonction rationnelle. 1 Primitives des fonctions analytiques usuelles Les entr´ees de la petite table suivante peuvent ˆetre v´erifi´ees en d´erivant le membre de droite.

Elles ont ´et´e obtenues soit directement, soit par une int´egration par parties, f (x) dx = xf (x) − xf (x) dx, et/ou par un changement de variable simple (y = 1 ± x2 , y = arcsin x, y = arcsinh x). 1. xp dx = 2. xp+1 si p = −1 pour x > 0 p+1 1 dx = log x pour x > 0 x 3. ex dx = ex 4. log x dx = x log x − x pour x > 0 5. cos x dx = sin x 6. sin x dx = − cos x 7. tan x dx = − log cos x pour |x| < 50 π 2 8. arccos x dx = x arccos x − 1 − x2 pour |x| < 1 arcsin x dx = x arcsin x + 1 − x2 pour |x| < 1 9.

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