AntiDemidóvich. Matemática superior. Problemas resueltos. by AntiDemidóvich

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AntiDemidóvich. Matemática more desirable. Problemas resueltos. Variable compleja: funciones de variable compleja. T.5

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Dado que el espacio metrico (C, p) es completo, entonces, segun el teorema de Frechet, todo conjunto totalmente acotado en este espacio es compacto. Hay que sefia lar que no todo conjunto acotado Z c C es compacto. Por ejemplo, el conjunto Z = {z E C: lzl < 1} es acotado, pero no es secuencialmente compacto, pues toda D efinicion 3. Un punto z E C (resp. z E C) se denomina limite pnrdnl (punta limite) de Ia sucesi6n (z11 ) si de csta sucesi6n se puede extraer unil s ubsucesi6n (z,k) cuyo Limite es ig ual il z.

1). A partir de las desigualdades (2) se deduce que si z i= oo es un punto limite del conjunto A en el espacio topologico (C, r), entonces este punto tiene Ia misma propiedad en el espacio (C, r ) y viceversa. Por tanto, al definir puntos limites finites se puede utilizar tanto Ia metrica euclidea como Ia esferica; en este sentido las metricas p y p son equivalentes. Es evidente que un conjunto finito A C C no tiene puntos limites. 2. Conjuntos cerrados, segmentos y lineas quebradas. -ntos conexos D Segun Ia definicion 1, p.

Dos sucesiones convergentes de mimeros complejos. Entonces Sll sumn (z,. + (,), su producto (z,. · ( 11 ) y Sll cociente ) (si 1:/ n E N (,1 =/= 01\ lim (,. n SOil sucesiones convergentes ( z, (,. n -oo y posee11 Ins propiedndes siguienles: 1 c2 -11. La condici6n lim z,. = oo lim (z,. n-oo 11-+00 ~ z) ¢:} (Re z,. -> Demostraci6n. Necesidad. Sea z, lz,. - z l -+ 0 y d e las d esig ualdad es IRe z,. - Re z l ::;; lzn - zl, Re z) 1\ (Im z,. -> -> n-oo n-oo z. , z ) lim z,. - Im z l ::;; lz,. -+ Im z .

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