Biomathematik: Mathematische Modelle in der Medizinischen by Reinhard Schuster

By Reinhard Schuster

Die Phänomene in Medizin und Computational lifestyles Sciences lassen sich in wachsendem Maße mit mathematischen Modellen beschreiben. In diesem Buch werden Mechanismen der Modellbildung beginnend von einfachen Ansätzen (z. B. exponentielles Wachstum) bis zu Elementen moderner Theorien, wie z. B. unterschiedliche Zeitskalen in der Michaelis-Menten-Theorie in der Enzymkinetik, vorgestellt. Modelle werden schrittweise erweitert, um zu zeigen, welche mathematischen und biologischen Konsequenzen Modellannahmen bewirken. Das Softwaresystem Mathematica hilft im Verständnis komplexer Modelle, indem es moderne Methoden der Informatik in einer Vielzahl von mathematischen Gebieten (Analysis, Geometrie, Statistik) bereitstellt. Eine besondere Stärke liegt auf dem Gebiet der Computeralgebra. Der Leser soll zu einem selbständigen Experimentieren im Umfeld der vorgestellten Modelle angeregt werden.

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Dies ist der Ausgangspunkt f¨ ur Beweise von Ungleichungen. Weiterhin gilt (−i)2 = −1 . Man sagt auch, dass -1 die beiden Quadratwurzeln i und −i hat. Die f¨ ur reelle Zahlen u ur komplexe Zahlen ¨blichen Rechenregeln bleiben also f¨ erhalten. Man braucht formal zur Erweiterung des Zahlenbereiches R der reellen Zahlen auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen C nur die imagin¨ are Einheit 2 i mit der Eigenschaft i = −1 hinzuzunehmen und mit den u ¨blichen Rechenregeln umzuformen. Wir wollen Beispiele betrachten.

Ist g(x)) eine Funktion mit der Ableitung f (x), so wird sie auch als Stammfunktion bezeichnet. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt b a f (x) dx = g(b) − g(a). Im Beispiel zur Abbildung 22 erhalten wir 3 1 x2 dx = 33 /3 − 13 /3 = 26/3. 10 Kurvendiskussion mit Mathematica 31 Um die angesprochenen Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Stammfunktion zu umgehen, kann man auf (sehr genaue) N¨ aherungsmethoden ausweichen. Verwendet man Mathematica, muss der Anwender in einfachen Situationen u ¨ber diese N¨aherungsmethoden kaum etwas wissen.

1}] die Abbildung 26. Wir erhalten eine Funktion mit einem Minimum im Koordinatenursprung. F¨ ur den Realteil der komplexen Sinusfunktion erhalten wir durch Plot3D[Re[Sin[x+I y]],{x,-8,8},{y,-2,2}] in einer interessanten Aufl¨osung die Abbildung 27. Die Schwingungseigenschaft in x-Richtung ist deutlich erkennbar. 1 Abbildung 26: Absolutbetrag der komplexen Sinusfunktion in der N¨ ahe des Koordinatenursprungs Plot3D[Re[Sin[x+I y]],{x,-8,8},{y,-6,6}] in Abbildung 28. Die Schwingung in x-Richtung ist wegen einer wesentlich gr¨ oßeren y - Skalengr¨oße in der Grafik kaum noch erkennbar.

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